第229章 蛮星之主一（第9页）

方程18:

f（x）=＜δx，f＞

其中我使用δ_x作为位置x的delta函数的简写。

由于f（x）类似于在位置x的f的“分量”

，与位于x处的delta函数取内积类似于与单位向量取点积。

或者换句话说，delta函数就像函数向量空间中的单位向量，挑选出位置x处的值或分量，就像3d空间中的普通点积一样。

所以让我们回顾一下。

我们介绍了关于delta函数的两种思考方式：

?它在函数卷积中扮演恒等角色，或乘以1的角色。

换句话说，delta函数有点像1。

?在考虑函数的向量空间时，函数扮演着“单位向量”

的角色。

将“点积”

与δ（x-x）相乘，得到向量在位置x处的分量，也就是函数在x处的值，或者f（x）。

最后一件事：到目前为止关于内积的讨论是关于实值向量的。

扩展到复值空间很简单，只需要对第一个参数取复共轭。

就比如狭义相对论中的洛伦兹变换？

对于实变量上的函数：

方程19:＜f，h＞=∫±∞f（x）h（x）dx

这可能是一个次要点，但在开始思考量子力学中的格林函数时很重要。

回到格林函数

思考格林函数的一个提示

有了对δ函数的理解，让我们回到格林函数的问题（方程6）。

L?G（x，x）=δ（x-x）

或者如果算子是自伴随的：

LG（x，x）=δ（x-x）

如果δ函数类似于1或恒等函数，那么格林函数似乎类似于线性算子L的逆。

为了更清楚地看到这一点，让我们回到原始问题，

Lu（x）=f（x）

如果格林函数类似于L的逆，如果乘以G，即与格林函数取内积，则可以“撤销”

L的作用并求解u。

方程20:

＜G，Lu＞=＜G，f＞

根据伴随的定义（方程7），我们可以将L作用于u替换为L的伴随作用于G。

根据格林函数的定义，这与δ函数相同。

方程21:

＜G，Lu＞=＜L?G，u＞=（δx，u）=U（x）

对于右手边：

方程22:U（x）=＜G，f＞=∫G（x，x）f（x）dx

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