第229章 蛮星之主一（第10页）

就是这样。

如果格林函数G，我们通过与源函数f取积分来求解u，类似于用L的逆乘以f。

方程23:

G∽L^-1

需要明确的是，像与普通乘法的卷积一样，这并不是一个完美的等价。

L甚至可能是不可逆的，但仍然可以有格林函数。

这更多是一种关于G的“操作性”

思考方式。

你应该开始看到格林函数的威力了。

如果我们直接解原始问题，我们只需要解一个特定的源函数。

对于格林函数，我们可以求解任意选择的源，但是要“反转”

算子L。

关于格林函数的一个重要细节是它们总是至少有两个参数的函数，我们称其为x和xG（x，x）格林函数似乎是一种将x处的源和x处的解联系起来的方法，我们在x处求解u的值。

看看方程22的右手边，你可以看到积分接近卷积的形式。

如果G（x，x′）=G（x–x′），它将是精确的。

事实证明，如果线性算子L具有平移对称性，通常会出现这种情况。

例如，当算子是常数系数的导数之和时，如拉普拉斯算子。

在这些情况下，确实有一个完全的卷积。

方程24:

U（x）=∫G（x-x）f（x）dx=G*f

引入物理

旧电压表

我们可以用数学的方式来考虑格林函数作为算子的逆函数，当我们在求内积时，把函数看成是1。

但我们如何从物理上理解格林函数呢?

说明这一点的最简单方式是用一个例子。

让我们为泊松方程求解格林函数（上述方程3）。

回想一下，我们试图找到电势（电压），给定空间中的某些电荷分布，后者我们用电荷密度p（r）表示。

泊松方程:

-▽^2V（r）=e0^-1p（r）

其中?0是一个常数，称为自由空间的电容率。

这是一个“静电”

问题。

我们假设电荷不动。

没有电流存在，否则除了电势，我们还需要考虑磁势来完全解出这个方程组。

虽然这是一个简化，但这仍然是一个非常困难的问题，所以找到格林函数是值得的。

不仅如此，这实际上是一个物理电荷分布。

如果我们考虑一个电子，它只是一个带电荷的点。

它的密度是

方程25电子的电荷密度:

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