第6章 求最大公约数和约分的方法

《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。

求最大公约数的方法称为“更相减损”

法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。

以等数约之。”

这里所说的“等数”

就是最大公约数。

可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2。

不都是偶数了，则另外摆（即副置）分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数。

在《九章算术》的第二、三、六等章内，广泛地使用了各种比例解应用问题。

粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”

这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……。

例如，粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何”

。

它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”

。

《九章算术》第七章“盈不足”

专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三钱；人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”

，“答曰：七人，物价53（钱）。”

“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。

令维乘（即交错相乘）所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一……置所出率，以少减多，余，以约法、实。

实为物价，法为人数”

。

盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造，它在中国古代算法中占有相当重要的地位。

盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”

，后来又传入欧洲，中世纪时期“双设法”

曾长期统治了他们的数学王国。

几何

《九章算术》总结了生产、生活实践中大量的几何知识，在方田、商功和勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的应用。

《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。

《九章算术》方田章第一题“今有田广十五步，从（音纵zong）十六步。

问为田几何。”

“答曰：一亩”

。

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