第321章（第3页）

而具有以上相同性质的可数基数就是阿列夫零。

马洛基数：又称马赫罗基数，对于所有K，正则基数β的初始段（即β以下的所有基数）中都包含一个K基数。

这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中，删去所有小于K的基数后，剩余的基数集合是一个K的闭集。

也就是一个马洛基数k之下的不可达基数组成驻集，小于k的所有正则基数集合是k的驻子集，则k为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集取驻集族为{a{0，1}都存在一个k个元素的子集使f在这个集上的值相同。

也是，最小不可达基数k，需要满足cfk=k，a＜k→2^a＜k的基数，一个2-不可达基数k是第k个不可达基数，一个超不可达基数就是k-不可达基数，每一个马洛基数k之下的不可达基数组成驻集，小于k的所有正则基数集合是k的驻子集，则k为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集，则此k为马洛基数，第马洛基数个不可达基数一定是马洛基数。

然后是2-马洛基数，下面的马洛基数形成驻集，超马洛基数，k是k-马洛基数。

不可描述基数：基数K称为nn不可描述基数如果对于每个nm命题（φ，并且设置A?vk与（Vk+n，∈，A）╞φ存在一个a＜k与（Va+n，∈，AnVa）╞φ。

这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。

nn不可描述基数以类似的方式定义。

这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1阶逻辑的任何公式将k与较小的基数区分开来（从下面看）。

这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。

如果基数k是nnm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。

也是，这里不可描述基数是指一类大基数，指用nnm或者是∑nm公式的概念和模型论工具所定义的基数，若对任何仅含一个二阶自由变元x的nnm公式或∑nm公式Φ（x），当有a层结构〈Va，∈?Va，R〉满足Φ（R）时，即〈Va，∈?Va，R〉?Φ（R）成立时，存在β＜a，使β层子结构也满足Φ（R），即〈Vβ，∈?Vβ，RnVβ〉?Φ（RnVβ），则称基数a为nmn或∑mn不可描述基数，注意到反射原理是指全域中的任何一阶公式可以用某一层Vβ中的相对化公式来代替，此处的不可描述性，就是指，在a层结构中真的公式，必可在a之前的某β层中为真，公式加以适当的限制，这种不可描述基数必然是很大的一类大基数，k是强不可达基数，当且仅当k是n10不可描述基数，又当且仅当k是∑11不可描述基数，k是弱紧基数，当且仅当k是n11不可描述基数，若k是可测基数，则k是n21不可描述基数。

可迭代基数：将基数k定义为可迭代的，前提是k的每个子集都包含在弱k-模型m中，其中在k上存在一个m-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。

Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数k被定义为a-iterable如果仅需要长度为a的超幂迭代才能有充分根

拉姆齐基数：让[k]＜w表示k的所有有限子集的集合。

如果对于每个函数，基数k称为Ramsey

f:[k]＜w→{0，1}

存在基数为k的集合A对于f是齐次的。

也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。

如果A可以被选为k的固定子集，则基数k被称为不可言说的Ramsey。

如果对于每个函数，基数k实际上被称为Ramsey

f:[k]＜w→{0，1}

存在c，它是k的一个闭无界子集，因此对于c中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与f齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamostRamsey的概念，其中对于每个λ＜k，需要有序类型λ的f的同质集。

将基数k定义为可迭代的，前提是k的每个子集都包含在弱k-模型m中，其中在k上存在一个m-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。

Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数k被定义为a-iterable如果仅需要长度为a的超幂迭代才能有充分根据。

也就是，拉姆齐基数定理确立了w具有R基数推广到不可数情况的特定性质，令让[k]＜w表示k的所有有限子集的集合，一个不可数的基数k称为R如果，对于每个函数f:[k]＜w→{0，1}，有一个基数k的集合A对于f是齐次的，也就是说，对于每个n，函数f在来自A的基数n的子集上是常数，如果A可以选择为k的平稳子集，则基数k被称为不可称的R，如果对于每个函数，基数k实际上称为Rf:[k]＜w→{0，1}，有c是k的一个封闭且无界的子集，因此对于c中的每个λ具有不可数的共尾性，有一个λ的无界子集对于f是同质的；稍微弱一点的是几乎R的概念，其中对于每个λ＜k，f的齐次集都需要阶类型λ，这些R基数中的任何一个的存在都足以证明0#的存在，或者实际上每个秩小于k的集合都有一个尖，每个可测基数都是R大基数，每个R大基数都是R大基数，介于R和可测性之间的强度中间属性是k上存在k完全正态非主理想I使得对于每个A?I和对于每个函数，f:[k]＜w→{0，1}，有一个集合b?A不在I中，对于f是齐次的，R基数的存在意味着0#的存在，这反过来又意味着Kurt的可构公理的错误。

强拉姆齐基数：一个为k的强拉姆齐基数，而且仅当对于每一个A?k位于一个存在k上的弱自可的k-模型m，k-模型m可数完备，〈m，U〉满足k-完备，它必然是正确的，因为m在长度小于k的序列下是封闭的。

强拉姆齐基数的力迫相关性质与之前的拉姆齐基数相同，强拉姆齐基数的一致性强于拉姆齐基数。

弱紧致基数：（位于马洛基数后）

k是弱紧致基数是指不可数且满足k→（k）。

所谓k是弱紧致基数，是指在不可数且Lk，k-句的集合中至多只使用了k个非逻辑符号的情况下，如果k-能够满足则能够满足。

（弱紧致性）记载了两个弱紧致基数的定义。

前者是组合论的性质，后者是模型理论的性质。

首先需要确认这个定义是相同值，还是真的定义了相同的基数，但是以后再进行，这个弱紧致基数具有什么性质，是组合论和模型理论这两个理论。

也是大基数的一种，特殊的强不可达基数，一个基数k被称为弱紧的，如果k是强不可达的并且满足树性质或划分性质，从定义可见，弱紧性弱于可测性但强于不可达性，弱紧致基数是大基数理论中的一个核心概念，若语言Lkk中任何只用到≤k个非逻辑符号的语句集A有模型，当且仅当A的每个基数k的子语句集有模型，则称基数kw是弱紧基数，弱紧基数是由匈牙学者爱尔特希和波兰学者塔尔斯基于1961年开始进行研究的，弱紧基数的等价性质很多，例如以无穷组合论中的一些性质来刻画，对于kw，k是弱紧基数与以下各条等价：

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