第321章（第4页）

1.k具有分划性k→（k）22。

2.对任何基数γk及nw，k具有分划性质k→（k）nγ。

3.k是强不可达基数且有数性质，k是弱紧基数还与下列这些性质等价。

4.k是超滤性质。

5.k有弱超滤性质且k是强不可达基数。

6.k有Vk可扩张性质。

7.k有序性质。

8.k是π11不可描述基数。

汉弗（hanf，w.p.）于1964年与库仑（Kunen，K.）于1977年的工作结合起来，得到如下结论：

弱紧致基数k是强马赫罗基数，并且k以下的强马赫罗基数的集合是k的驻子集.通常的一阶逻辑语言是Lww，其紧致性定理是：

Lww的任一语句集A有模型，当且仅当A的每个有穷子集有模型，亦即，语言Lww是（w，w）紧的，上述弱紧基数的定义与此略有不同，如果完全依照w的这一紧致性而加以推广，则可定义另一种弱紧基数，人们称之为弱紧2基数，基数kw称为弱紧2基数，是指语言Lkk是（k，k）紧的，即对于Lkk的任何基数≤k的语句集A，A有模型，当且仅当A的每个基数k的子语句集有模型，若将先前定义的弱紧基数称为弱紧1基数，则可以证明：

k是弱紧1基数，当且仅当k是弱紧2基数，且是强不可达基数，在广义连续统假设之下，弱紧1与弱紧2基数是相同的，弱紧2基数必为弱马赫罗基数

可测基数：（在拉姆齐基数后）

为了定义这个概念，人们在基数k上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。

对于基数k，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得k本身很大，?并且所有单例{a}，a∈k很小，小集的补集很大，并且反之亦然。

小于的交集k大集又大了。

事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFc证明其存在的大基数。

形式上，可测基数是不可数基数k，使得在k的幂集上存在k加性、非平凡、0-1值测度。

（这里术语k-additive意味着，对于任何序列Aa，a＜λ的基数λ＜k，Aa是成对相交的小于k的序数集，Aa的并集的度量等于个人Aa的措施。

）将满足集合a上的下一个的滤波器f称为超滤波器，对于所有的xa，x∈F或Ax∈Fw上存在w-完备非一元超滤波器，当k为不可数基数，k上存在K-完备非一元超滤波器时，k称为可数基数

定理（ZFc）

可测基数为不可达基数，可预测基数公理（meas）:“存在可预测基数.”

可测基数与初等嵌入，当k是可测基数时，根据k上K-完备非一元超滤波器对v的超幂，构造了一类可拓m和一类函数j:V→m，并给出了《φ（x1，...，xn）：L∈-理论式》

?x1，...，xn∈V（φV（x1，...，xn）?φm（j（x1），...，j（xn）））

对于所有a＜K，j（a）=a且j（K）＞k将j称为从v到m的初等嵌入，k是j的临界点

使用这个初等嵌入，可以显示出可预测基数k的很多性质在这种初等嵌入的存在下，k的可测性具有特征。

也是，可测基数是一个不可数的k，因此在k的幂集上存在加性、非平凡、0-1值测度，而k-additive意味着，对于任何序列Aa，a＜λ的基数λ＜k，Aa是＜k的序数的成对不相交集，Aa的并集的度量等于个体Aa的测量值。

k是可测的意味着它是将宇宙V的非平凡基本嵌入到传递类m的临界，并使用了模型理论中的超强构造，由于V是一个适当的类别，因此需要解决一个在考虑超能力时通常不存在的技术问题，当且仅当k是具有k完全非主超滤器的不可数基数时，k是可测量的基数，这也意味着超滤器中任何严格小于k的集合的交集也在超滤器中。

强可展开基数：（位于不可描述基数后）

基数k是λ不可展开的，当且仅当对于ZFc的基数k的每个传递模型m负幂集使得k在m中并且m包含其所有长度小于k的序列，有非-将m的非平凡基本元素j嵌入到传递模型中，其中j的临界点为k，且j（k）≥λ，一个基数是可展开的当且仅当它对于所有的序数λ都是λ-不可折叠的，一个基数k是强λ不可折叠的当且仅当对于每个ZFc负幂集的基数k的传递模型m使得k在m中并且m包含其所有长度小于k的序列，存在一个非-将m的平凡基本嵌入j到传递模型“N”

中，其中j的临界点为k，j（k）≥λ，并且V（λ）是N的子集，不失一般性，我们也可以要求N包含其所有长度为λ的序列，一个基数是强可展开的当且仅当它对于所有λ都是强λ-不可展开的。

强基数：如果λ是任何序数，k是λ-strong意味着k是基数并且存在从宇宙V到具有临界点k和Vλ?m也就是说，m在初始段上与V一致。

那么k是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。

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