第41章 中专少女姜如烟与龙傲天竞赛的开始13（第2页）

当敌机出现时，小明立即进行操作，可以瞬间击落对方，或者瞬间被对方击落。

如被敌机击落，则游戏结束。

如小明击落敌机，则会获得1.5个积分，并且可以选择在击落该次敌机后立即退出游戏，或者继续游戏。

如选择继续游戏，则须等待到下一架敌机出现，中途不能主动退出。

游戏的难度不断递增:出现的第n架敌机，小明击落对方的概率为（0.85）的n次方”

，被击落的概率为1-（0.85的n次方）”

，且与之前的事件独立。

在任何时刻，如果积分降到0，则游戏自动结束。

姜如烟看到问题部分:

（1）如果游戏中，小明被击落后，其之前的积分保持。

那么为了游戏结束时的累积积分的数学期望最大化，小明应该在其击落第几架敌机后主动结束游戏?（A）1.（b）2.（c）3.（d）4.

（2）假设游戏中，小明被击落后，其之前积累的积分会清零。

那么为了结束时的期望积分最大化，小明也会选择一个最优的时间主动结束游戏。

请问在游戏结束时（小明主动结束、或积分减到0），下列哪一个选项最接近游戏结束时小明期望积分?（A）2.（b）4.（c）6.（d）8.】

姜如烟详细思考后，给出答案2

敌机的出现是一个参数为1的泊松点过程（如需避免连续时间随机过程，这里也可用指数分布的无记忆性）。

在任意时刻，每进行一个单位时间段，小明减少的积分为1。

在击落每架敌机后，小明增加的积分为1.5。

在这之后，每进行一个单位时间段，小明击落敌机的期望收益为1.5x（0.85）^n”

。

（1）在这种情况下，被敌机击落的期望损失为0。

那么我们选择最大的n，使得1.5x（0.85）^n”

＞1，即n=2。

小明在击落第2架敌机时主动结束游戏。

因此选（b）.

（2）假设击落第n-1架敌机后，小明所拥有的积分为t。

如选择继续等待到下一架敌机出现后结束游戏，积分的数学期望为

（0.85）^n*（t+0.5x（1-e^-t））.（1）

当n=1且t≤2时，上式总是大于t。

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