第六百三十四章 陈氏类

我们的最后两片拼图，陈氏类和黎奇曲率，是彼此相关的，它们是源自于几何学家尝试将黎曼面从复一维推广到多维，并从数学上刻画这些推广结果之间差别的努力。

这把我们带到一个重要定理：高斯—博内定理，它适用于紧致黎曼曲面，以及其他任何无边界的紧致曲面。

“边界”

在拓扑中的定义很直观：圆盘是有边界的，亦即有明确界定的边缘，而球面则没有。

在球面上，不管你朝哪个方向走，而且不管走多远，都不会碰到或接近任何边缘。

这个定理是在19世纪时由高斯和法国数学家博内（pierre

bon）所提出的，它建立了曲面的几何性质及其拓扑性质之间的关系。

高斯—博内公式是说，上述曲面的总高斯曲率（或高斯曲率的积分）等于2π乘以该曲面的“欧拉示性数”

（euler

characteristic）。

而欧拉示性数x（希腊字母chi）则又等于2-2g，其中g是曲面的亏格（也就是曲面的“洞”

数或“把手”

数）。

举例来说，二维球面没有洞，所以它的欧拉示性数是2。

在此之前，欧拉提出了另一条求任何多面体欧拉示性数的公式：x=v-e+f，其中v是数，e是边数，f是面数。

以四面体为例，x=4-6+4=2，与球面的x值相同。

一个立方体有8个、12个边和6个面，所以x=8-12+6=2，再次和球面相同。

因为欧拉示性数只和物体的拓扑，而非几何形状有关，那么这些几何相异，但拓扑相同的物体有着相同的x值当然很合理。

欧拉示性数x是空间的第一个主要的“拓扑不变量”

，也就是在拓扑等价但外观可能极为不同的各个空间上（例如球面、四面体和立方体），都能维持不变的性质。

再回到高斯—博内公式。

由此，二维球面的总高斯曲率是2πx2=4π。

至于二维环面，因为它的x是0（2-2g=2-2=0），所以环面的总高斯曲率是0。

把高斯—博内的原理推广到更高维，就会把我们带到陈氏类。

一个可赋向（或是有两面）的曲面，拓扑上可由其欧拉示性数来描述。

计算多面体的欧拉示性数有一条简单的公式（多面体即是由平坦的面和直线的边所构成的形体）。

欧拉示性数x等于数减边数，再加上面数。

对于本图所示的长方体，其值为2。

四面体的欧拉示性数也是2（=4-6+4），四角锥也同样是2（=5-8+5）。

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